Qual a diferença entre MMC e MDC? Saiba calcular!

MMC e MDC são siglas para “Mínimo Múltiplo Comum” e “Máximo Divisor Comum”. Esses cálculos decompõem valores originais em fatores ou em números primos. Dizemos, então, que tomaremos um número natural e faremos contas relacionadas aos seus múltiplos e divisores. Há diferentes formas de calcular cada um deles!

Neste texto sobre o que é MMC e MDC, você encontrará os tópicos abaixo. Clique em um deles para ir diretamente ao conteúdo:

1. O que é MMC e MDC?
2. O que são fatores, múltiplos, divisores e números primos?
3. Qual a diferença entre MMC e MDC? (Quando usar cada).
4. Como calcular MMC e MDC?
5. O que é MMC (definição própria).
6. Diferentes formas de calcular o MMC.
7. O que é MDC (definição própria).
8. Diferentes formas de calcular o MDC.

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O que é MMC e MDC?

MMC é a sigla que usamos para um número que seja o “Mínimo Múltiplo Comum”. Já a sigla MDC se refere ao valor que é o “Máximo Divisor Comum”. 

Nós encontramos o MMC e o MDC quando comparamos dois ou mais números. Para fazer isso, precisamos realizar cálculos. 

Esses cálculos vão decompor os nossos valores originais em fatores ou em números primos. Dizemos, então, que tomaremos um número natural e faremos contas relacionadas aos seus múltiplos e divisores.

Essa não é uma matéria-tema da matemática, mas é uma ferramenta que usaremos para resolver as questões de vários assuntos matemáticos. Inclusive, pode ser que você precise desse cálculo para resolver alguma pergunta do Enem ou outro vestibular.

Afinal, o que são fatores, múltiplos, divisores e primos?

• Fatores: são os números que usamos para escrever uma operação de multiplicação.

Ex: na operação 5×3, dizemos que 5 é o primeiro fator e 3 é o segundo fator.

• Múltiplos: são os resultados da multiplicação de um número inicial por cada fator. Um número possui infinitos múltiplos.

Ex: Vamos tomar como exemplo o número 4. 

Se fizermos sua multiplicação por 1, 2, 3, 4 e 5, teremos os resultados: 4×1= 4 / 4×2 = 8 / 4×3 = 12 / 4×4 = 16 / 4×5 = 20. Cada um desses resultados é um múltiplo de 4. Como há infinitos números que podemos multiplicar por 4, há infinitos múltiplos resultantes.

• Divisores: são os números pelos quais podemos dividir um valor inicial e que essa divisão não deixe resto, seja exata.

Ex: Vamos tomar como exemplo o número 10.

Se testarmos por quais números conseguimos dividir o 10 de forma que seja uma divisão exata, veremos que 10, 5, 2 e 1 serão os seus divisores. Veja: 10÷10 = 1 / 10÷5 = 2 / 10÷2 = 5 / 10÷1 = 10.

Qualquer outro número que tentar dividir o 10, resultará em uma divisão não exata. 10÷7, por exemplo, resulta em 1,43. Então, o 7 não se encaixa na nossa definição de divisor de 10.

• Número primos: são aqueles que só se dividem por eles mesmos e por 1, eles não têm outros divisores. 

Ex: Vamos tomar como exemplo o número 13.

13 só é divisível por 1 e 13, portanto, é primo.

Já o número 10 (do exemplo anterior) é divisível por vários outros números além de 1 e 10, então não é primo.

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Qual a diferença entre MMC e MDC? [Quando usar cada]

A diferença entre MMC e MDC é que o primeiro procura encontrar o menor múltiplo, já o segundo quer encontrar o maior divisor. Mas encontrar de onde? Da comparação entre dois ou mais valores.

Note que não faz sentido pensar em um “máximo múltiplo comum”, porque os múltiplos dos números são infinitos, então não é possível determinar esse valor!

Também não é útil pensar em um “mínimo divisor comum”, pois nós já sabemos que todos os números são divisíveis por 1 e isso não nos leva a lugar nenhum!

A maioria dos alunos costuma ter dificuldade em saber quando deve usar o MMC e MDC. Se você entender o problema e o que ele pede, consegue relacionar a informação com a definição de um dos dois e ver qual te ajudará.

• Quando usar o MMC? Normalmente quando precisamos somar ou subtrair duas frações (deixar os denominadores iguais e menores é encontrar um número comum e pequeno entre eles).

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• Quando usar o MDC? Podemos usar para simplificar equações, mas ele costuma aparecer nos problemas complicadinhos, principalmente relacionados à divisão de grupos ou áreas que precisam ser reagrupadas nos maiores conjuntos possíveis.

Treine com os exercícios de MDC que separamos para você!

Como calcular MMC e MDC?

Existem diferentes modos de calcular cada um deles (4 formas de MMC e 2 de MDC). Nós te mostraremos cada forma com passo a passo nos próximos tópicos do artigo. 

Contudo, já adiantamos que o modo comum de calcular MMC e MDC é por meio da fatoração.

Se você está comparando o MMC de dois ou mais números, ele será determinado pela multiplicação dos seus fatores, aí você identifica qual é o menor valor comum entre eles. 

Já o MDC será obtido pela observação de quais divisores dividem todos os números de referência ao mesmo tempo.

Não ficou claro? Calma!

Agora vamos dar os exemplos resolvidos e passo a passo de como calcular cada um deles. Veja:

O que é MMC? [Mínimo Múltiplo Comum]

Como dissemos acima, a sigla MMC significa “Mínimo Múltiplo Comum”. Portanto, ao comparar dois ou mais valores, iremos procurar o menor número que é múltiplo deles.

Exemplo: tomando por referência os números 4 e 3, podemos dizer que o número 12 é o MMC entre eles. 

Como saber disso? E se compararmos 3 números? Nós te ensinamos:

Formas de calcular MMC [Passo a passo]

Você até pode pegar dois números e ficar listando os seus múltiplos na frente para depois circular quais aparecem em ambos e ver o menor. Mas já imaginou o trabalhão e a perda de tempo que isso gera?

Nós vamos te ensinar outras 3 formas mais rápidas de calcular o MMC para números de qualquer tamanho. Escolha a sua preferida:

→ Forma da Fatoração Regra Geral

Como dissemos acima, a fatoração é a forma tradicional de encontrar qualquer valor contido em um número. Assim, se queremos encontrar o MMC entre 6, 8 e 10, precisamos fatorar cada um deles e analisar.

• 1° Passo: fatore cada um dos números e escreva-os na sua forma de produtos primos   →   6 = 2×3 // 8 = 2³ // 10 = 2×5

• 2° Passo: multiplique cada fator primo diferente que aparece nos três produtos. Se um deles se repetir, use o que tiver maior expoente   →   2³ x 3 x 5
• 3° Passo: o resultado encontrado neste produto será o próprio MMC.

Portanto, o MMC entre 6,8 e 10 é igual a 120.

→ Forma da Fatoração Prática

Essa forma segue a mesma lógica da primeira, a diferença é colocaremos os 3 números no mesmo quadro de fatoração e faremos as operações todas ao mesmo tempo.

• 1°Passo: Alinhe os três números e divida todos os números que podem ser divididos pelo primeiro número primo (2). Na linha de baixo, anote cada quociente obtido.
• 2°Passo: Repita esse processo de dividir a nova linha pelo menor número primo. Quando todos tiverem sido divididos ao máximo pelo 2, teste o próximo número primo (3).
• 3°Passo: Vá dividindo cada nova linha pelo menor número primo possível até que surja uma última linha em que todos os quocientes sejam 1.
• 4° Passo: Quando chegar nesse ponto, pegue todos os divisores ou fatores (à direita da linha) e multiplique-os. O resultado será o MMC entre eles.

Observe a imagem para entender:

→ Forma rápida apenas para dois números

Esta forma rápida de encontrar o MMC serve para quando analisamos apenas dois números. Vamos tomar como exemplo os números 30 e 9.

• 1° Passo: Arme uma fração com esses dois números   →   30/9
• 2° Passo: Simplifique a fração totalmente   →   10/3
• 3° Passo: Coloque a fração original ao lado da simplificada e multiplique o numerador de uma pelo denominador da outra (diagonal)  →   30/9 e 10/3   →   Podemos fazer 30×3 ou 9×10
• 4°Passo: Note que o resultado obtido em qualquer uma das duas escolhas é o mesmo. Ele equivale ao MMC entre os dois números!

Assim, comprovamos que 90 é o MMC entre 30 e 9.

→ Propriedade do MMC

Há uma propriedade na definição de MMC que nos permite afirmar: 

“Todo múltiplo comum de dois ou mais números inteiros é múltiplo do MMC desses números.”

Calma, é mais fácil do que parece. Vamos explicar com um exemplo:

A propriedade está dizendo que os vários múltiplos comuns entre 4, 12 e 20 são também os mesmos múltiplos do MMC entre eles (que é 60).

De fato, nós vemos que os múltiplos de 60 (como o 120 ou 240) aparecem também nos múltiplos de 4, 12 e 20. Lembre-se: o MMC é o menor dentre os múltiplos, então os que vêm depois dele também aparecerão nos números que tomamos por referência.

Pode ser importante lembrar dessa propriedade em uma questão de lógica!

O que é MDC? [Máximo Divisor Comum]

Como dissemos acima, a sigla MDC significa “Máximo Divisor Comum”. Portanto, ao comparar dois ou mais valores, iremos procurar o maior número que é divisor deles.

Exemplo: tomando por referência os números 4 e 8, podemos dizer que o número 4 é o MDC entre eles. 

Como saber disso? E se compararmos 3 números? Nós te ensinamos: 

Formas de calcular MDC [Passo a passo]

Você até pode pegar dois números e ficar listando os seus divisores na frente para depois circular quais aparecem em ambos e ver o maior. Mas já imaginou o trabalhão e a perda de tempo que isso gera?

Nós vamos te ensinar outras 2 formas mais rápidas de calcular o MDC para números de qualquer tamanho. Escolha a sua preferida:

→ Forma da Fatoração Regra Geral

Como dissemos acima, a fatoração é a forma tradicional de encontrar qualquer valor contido em um número. Assim, se queremos encontrar o MDC entre 24, 20 e 4, precisamos fatorar cada um deles e analisar.

• 1° Passo: fatore cada um dos números e escreva-os na sua forma de produtos primos   →   24 = 2³ x 3 // 20 = 2² x 5 // 4 = 2²

• 2° Passo: veja qual fator primo aparece nos três produtos. Use o que tiver menor expoente   →   2²
• 3° Passo: o resultado encontrado será o próprio MDC.

Portanto, o MDC entre 24,20 e 4 é igual a 4.

→ Forma da Fatoração Prática

Esse método segue a mesma lógica do anterior, só que é mais prático porque fazemos a fatoração de todos eles ao mesmo tempo. Depois, analisamos os resultados dos fatores primos que dividiram todos os números ao mesmo tempo.

• 1°Passo: Alinhe os três números e divida todos os números que podem ser divididos pelo primeiro número primo (2). Na linha de baixo, anote cada quociente obtido.
• 2°Passo: Repita esse processo de dividir a nova linha pelo menor número primo. Quando todos tiverem sido divididos ao máximo pelo 2, teste o próximo número primo (3).
• 3°Passo: Vá dividindo cada nova linha pelo menor número primo possível até que surja uma última linha em que todos os quocientes sejam 1.
• 4° Passo: Quando chegar nesse ponto, observe quais os divisores ou fatores (à direita da linha) que conseguiram dividir todos os 3 números daquela linha ao mesmo tempo. Sinalize-os com um círculo ou asterisco.
• 5° Passo: O resultado do MDC será a multiplicação entre os fatores primos que dividiram os 3 números ao mesmo tempo.

Observe a imagem para entender:

→ Primos relativos

Toda vez que vemos o nome “relativo” é porque depende do ponto de vista, não é algo absoluto.

Sabendo da definição de número primo que trabalhamos acima, sabemos que o número 10 não é exemplo de número primo. 

Porém, ele pode ser um número primo relativo dependendo de com quem o compararmos. Para descobrir isso, envolvemos o conceito de MDC.

Dois números serão chamados de primos relativos (ou primos entre si), se o MDC entre eles é 1. Assim, o 10 pode ser chamado de primo relativo quando comparado ao 21. Note: MDC (10, 21) = 1.

→ Propriedade do MDC

Há uma propriedade na definição de MDC que nos permite afirmar: 

“Todo divisor comum de dois ou mais números inteiros é divisor do MDC desses números.”

Vamos explicar com um exemplo:

A propriedade está dizendo que os vários divisores comuns entre 4, 12 e 20 são também os mesmos divisores do MDC entre eles (que é 4).

De fato, nós vemos que os divisores de 4 (como 2 ou 4) aparecem também nos divisores de 4, 12 e 20. Lembre-se: o MDC é o maior dentre os divisores, então os que vêm antes dele também aparecerão nos números que tomamos por referência.

Pode ser importante lembrar dessa propriedade em uma questão de lógica!

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