Descubra 5 tipos de Polinômios que todo estudante de matemática precisa conhecer e calcular!

Polinômios não são bichos de sete cabeças… são apenas expressões matemáticas que misturam letras e números; é um assunto da álgebra. Essas letras são chamadas de variáveis e representam valores que ainda não conhecemos.

Por isso é importante saber como fatorar e calcular polinômios, é essa habilidade que vai nos fazer descobrir as variáveis ou simplificar o tamanho das expressões algébricas. Você como estudante, precisa dessas habilidades para melhorar em matemática.

Neste artigo, vamos te contar e explicar quais são os tipos de Polinômios e tudo que você precisa saber para dominá-los. Leia até o final se quiser evoluir suas habilidades matemáticas. Vamos lá?

Se você quiser, clique em um dos tópicos desse resumo para ir direto aos assuntos:

• O que é um polinômio?
• Quais são os tipos de polinômios?
• O que são Monômios, Binômios e Trinômios? Exemplo!
• Quais são os graus dos polinômios?
• O que são polinômios completos e incompletos?
• Como fazer operações e fatoração de Polinômios?

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O que é um polinômio?

Os polinômios são apenas expressões matemáticas que misturam números e letras. Neste caso específico, dizemos que são expressões algébricas, pois a Álgebra é a parte da matemática que lida com letras e números, assim como a Geometria lida com formas.

Os números de um polinômio são chamados de “coeficientes”, enquanto as letras são chamadas de “partes literais”.

Falando nisso, as letras de um polinômio existem para representarmos os valores que não conhecemos. Por isso, também podem ser chamadas de “incógnitas” ou “variáveis”.

Agora vamos ver alguns exemplos de polinômios:

• 3x + 5y
• a² – 2b3c
• 81z³ + 9w = y⁵

Para quê servem os polinômios?

Neste momento você deve estar se perguntando: “Por quê isso tudo?”. Por mais incrível que possa parecer, os polinômios existem para facilitar a sua vida. Eles servem para simplificar, descrever e resolver situações.

Não acredita? Vamos dar um exemplo prático:

Se você tivesse que encomendar salgadinho, bebida, bolo e docinho para uma festa, seria muito trabalhoso descrever o que cada convidado comeria… O melhor é fazer o cálculo de consumo médio por pessoa e multiplicar pelo número de convidados. Percebe?

No caso dos polinômios, eles ajudam a traduzir situações em que está faltando um valor.

Exemplo:

Se um vendedor de certa loja ganha 1000 reais fixos por mês, mais 20 reais por cada venda que ele faz, nós podemos resumir o salário dele em: 1000x + 20y.

Note que x é a quantidade de meses que ele trabalhar na empresa e y é a quantidade de vendas que ele fará. Não dá para prever esses valores, por isso usamos letras!

Você mesmo deve ter alguma situação na sua vida cotidiana em que utiliza de polinômios pois não sabe alguma informação exatamente. A diferença é que aqui estamos traduzindo o seu pensamento natural e instintivo para a linguagem matemática  

Quais são os tipos de polinômios?

Você já entendeu que os polinômios são cálculos que traduzem realidades. Mas nós só demos exemplos simples até agora e você sabe que o mundo é super complexo. 

Por isso, vão surgindo diferentes tipos de polinômios e eles podem ser classificados conforme:

• A quantidade de termos: Monômios, Binômios, Trinômios;
• O grau da parte literal: Linear, Quadrático, Cúbico;
• A progressão dos graus: Completo, Incompleto.

Parece muita coisa, então vamos logo ver exemplos e características de cada um para você entender melhor.

O que são Monômios, Binômios e Trinômios? Aprenda com exemplos!

A palavra polinômio significa “muitos termos” (poli + nômios)”. E os termos são as partes que estão separadas pelos sinais das operações básicas de adição (+) e subtração (-).

Daí surgem os diferentes tipos de polinômios classificados quanto à quantidade de termos:

Monômio

É o polinômio que possui apenas um termo.

Exemplo:

• 9x
• 4abc
• g²h³

Binômio

É o polinômio que possui dois termos.

Exemplo:

• 2m – n²
• 6x + 4y
• 10ab + 5cd³

Trinômio

É o polinômio que possui três termos.

Exemplo:

• x + 2x² + 4
• 3mn – 4op – 10
• w³z + w² + 6

Normalmente, nós usamos esses nomes nas escolas e nas provas, são os principais. 

Mas você pode se esbarrar por aí com um “quadrinômio” e conseguirá deduzir que ele será um polinômio com 4 termos!

Quais são os graus dos polinômios?

Nós podemos classificar os tipos de polinômios não só na quantidade de termos, mas também no grau dos termos que o formam.

Grau nada mais é que olhar o expoente das partes literais (letras).

Ah, não sabe o que é um expoente? Você vai precisar desse conhecimento para continuar. Leia nosso artigo sobre Potenciação antes de ler o resto deste texto.

Grau Linear 

É o polinômio cujo maior expoente existente nas letras dele é o 1.

Exemplos:

• x + 2y
• m + 4
• 3a + b

Note que um polinômio linear pode gerar equações e funções do primeiro grau.

Grau Quadrático

É o polinômio cujo maior expoente existente nas letras dele é o 2.

Exemplos:

• x + 2y²
• m² + 4
• 3ab + c²

Note que um polinômio quadrático pode gerar equações e funções do segundo grau.

Grau Cúbico

É o polinômio cujo maior expoente existente nas letras dele é o 3.

Exemplos:

• x² + 2y³
• m³ + 4
• 3abc + d³

Importante:

• Em um polinômio com uma única variável, o maior valor é quem classifica o grau daquele polinômio. 

Exemplo: no polinômio 1 + 8x² + 6x³ + 2x⁴ o grau será 4

• Em um polinômio com diferentes variáveis, precisamos somar os expoentes de cada termo para encontrarmos o maior grau possível.

Exemplo: no polinômio  4m²n + 8m³3n³ – mn² o grau será 6, pois:

• No primeiro termo, temos duas letras, uma com expoente 1 e a outra 2, totalizando grau 3;
• No segundo termo, temos duas letras, ambas com expoente 3, totalizando grau 6;
• No terceiro termo, temos duas letras, uma com expoente 1 e a outra 2, totalizando grau 3;

O que são polinômios completos e incompletos?

Além dos tipos de polinômios anteriores, ainda temos essa classificação que tem a ver com a sequência em que os expoentes aparecem, veja só:

• Polinômios completos: quando a ordem dos seus expoentes for do maior para o menor número (decrescente) e não faltar nenhum número na sequência.

Exemplo: a⁵ + 3a⁴ – a³ + 4a² + 2a – a⁰

• Polinômios incompletos: quando faltar algum número na sequência de expoentes.

Exemplo: a⁵ – a³ + 2a 

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Como resolver operações e fatoração de Polinômios?

Assim como existem as 4 operações fundamentais que fazemos com os números (Adição, Subtração, Multiplicação e Divisão), também podemos fazer isso com os polinômios!

Acompanhe a explicação de cada uma das operações e complete seu aprendizado sobre tipos de polinômios:

Soma de Polinômios

Neste caso, precisamos identificar quais são as letras que se repetem nos dois polinômios, depois, vamos somar os números que os acompanham.

 O que não se repetir nos dois lados da soma, permanecerá inalterado.

Isso porque só podemos somar semelhantes (“bananas” do primeiro polinômio com “bananas” do segundo polinômio). Se houver uma “maçã” somente no segundo polinômio, ela não se somará com ninguém, permanece a mesma.

Exemplo:  (4x² – 6y³) + (x³ – 2x² + 4xy + 6y³)

Primeiro vamos somar os x² —> (4x² – 6y³) + (x³ – 2x² + 4xy + 6y³) = 2x²

Depois, vamos somar os y³ —> (4x² – 6y³) + (x³ – 2x² + 4xy + 6y³) = 0

Note que  x³ e  xy só aparecem no segundo polinômio, então não podem se somar com nada. Vamos mantê-los inalterados.

Agora, pegamos  os resultados das somas que obtivemos e juntamos com o que sobrou:

Resultado: x³ + 2x² + 4xy

Subtração de Polinômios

Neste caso, precisamos lembrar daquela regrinha de expressão numérica: “o sinal na frente do parêntesis inverte tudo o que estiver lá dentro”.

Depois de inverter tudo, teremos apenas que juntar os termos semelhantes e manter o restante.

Exemplo:  (4x² – 6y³) – (x³ – 2x² + 4xy + 6y³)

Primeiro invertermos o sinal de tudo o que está dentro do parênteses após o “menos”.

Depois vamos juntar os x² —> (4x² – 6y³) + (- x³ + 2x² – 4xy – 6y³) = 6x²

E  por fim juntar os y³ —> (4x² – 6y³) + (- x³ + 2x² – 4xy – 6y³) = -12y³

Note que  x³ e  xy só aparecem no segundo polinômio, então não vamos mantê-los inalterados.

Agora, pegamos os resultados juntamos com o que sobrou:

Resultado: -x³ + 6x² – 4xy – 12y³

Multiplicação de Polinômios

Neste caso, devemos multiplicar termo a termo (técnica do chuveirinho). Na multiplicação de letras iguais, repetimos a letra e somamos os expoentes.

Exemplo:  (4a² – 6a + 1) . (-3a + 5)

(4a² – 6a + 1) . (-3a + 5) = -12a³

(4a² – 6a + 1) . (-3a + 5) = 20a²

(4a² – 6a + 1) . (-3a + 5) = 18a²

(4a² – 6a + 1) . (-3a + 5) = -30a

(4a² – 6a + 1) . (-3a + 5) = -3a

(4a² – 6a + 1) . (-3a + 5) = +5

Resultado: -12a³ + 20a² + 18a² – 30a – 3a + 5

Observe que há termos semelhantes que podemos somar e reduzir internamente, ficando assim: -12a³ + 38a² – 33a + 5

Divisão de Polinômios

Lembra dos tipos de polinômios definidos por grau? Neste caso, só é possível fazer a divisão quando o grau do polinômio dividendo (quem será dividido) é maior do que o grau do polinômio divisor (por quem se divide). 

Existem três formas de fazer essa operação (Chaves, Descartes ou Briot-Ruffini), mas nós vamos ensinar o mais prático, que é o Método das Chaves:

• Primeiro, devemos dividir o primeiro termo do dividendo pelo primeiro termo do divisor e anotar o quociente.
• Depois, pegamos o resultado e multiplicamos pelo divisor todo. 
• Escrevemos esse produto com os sinais trocados, embaixo dos mesmos termos iguais do dividendo, para fazer a subtração e encontrar um resto.
• Vamos repetir esse processo, até que não reste nada ou que não seja mais possível prosseguir.

Exemplo:  

Vamos dividir o polinômio a³ + 2a² + a – 1 pelo polinômio a² – 3

Fatoração de Polinômios

Nós fizemos um artigo explicando tudo sobre fatoração, porque há diferentes casos e nós demos exemplos para todos eles, inclusive os casos que envolvem diferentes tipos de polinômios. Leia nosso artigo de fatoração para completar o seu entendimento do assunto.

Acesse agora mesmo nosso artigo sobre Fatoração! 

É uma matéria importante para o Enem?

Bastante! Como nós vimos ao longo desse artigo, os polinômios são a base de todas as matérias de álgebra que vem a seguir, e que caem muito no Enem, como equações e funções. 

Por isso não dá para pular. Aprenda esse assunto direitinho, volte no artigo quantas vezes quiser, tire todas as suas dúvidas e seus estudos ficarão mais fáceis daqui para frente!

Inclusive, se você já estiver se preparando para o Enem, saiba que nós temos um Simulado online e gratuito para você treinar.

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Boa sorte!