Resumo completo de Aritmética: o que é, conteúdos que caem e exemplos!

A parte mais antiga e mais básica da matemática estuda os conceitos de números, valores e operações básicas. A área que estuda isso tudo é chamada de Aritmética. Neste resumo de Aritmética, você pode conferir se está com a memória boa e se a habilidade está afinada, pois usamos muito essa matéria no dia a dia!

Neste resumo de Aritmética, você encontrará os tópicos abaixo. Se quiser, clique em um deles para ir diretamente ao conteúdo:

1. Resumo: O que é Aritmética?
2. Quem criou a Aritmética?
3. Quais são os assuntos vistos na Aritmética?
4. Como funciona a Aritmética?
5. O que são os números?
6. O que é valor posicional?
7. Quais são as 4 operações fundamentais?
8. Qual é a ordem de prioridade das operações?

Depois você pode testar o que aprendeu. É só fazer o nosso Simulado ENEM gratuito! Ele pode ser personalizado com as matérias que você quiser.

Resumo: O que é Aritmética?

A aritmética é o ramo mais básico e antigo da matemática! Essa é a parte que lida com as operações entre os números e o entendimento dos tipos de algarismos e quantidades que existem. 

É ela que estudamos na escola quando crianças! Mas não a subestime… 

Sabe aqueles erros que cometemos ao calcular a quantidade de salgadinhos da festa, as compras no mercado, a fatura do cartão, os juros e tudo o mais? Pois é, só com a aritmética que você consegue superar isso!

Inconscientemente, nós a usamos a todo o momento, seja em tarefas cotidianas, estudantis, científicas e empresariais. 

Muitos jovens e adultos ainda cometem erros de aritmética; outros, demoram a entender as matérias seguintes porque não estão afiados nessa.

Sendo o início de todas as outras áreas da matemática, precisamos dela para compreender geometria, álgebra, etc. Isso é essencial para ir bem no vestibular, concursos e para se dar bem no seu dia a dia!

Que tal conferir se você se lembra de todas as regrinhas e se seu raciocínio está bem aguçado?

Quem é o pai da Aritmética e qual sua história?

Etimologicamente, a palavra aritmética veio do grego e significa “ciência dos números”. Parece bem simples, mas a verdade é que antigamente não existia um sistema numérico certinho como hoje.

As primeiras culturas a representar quantidades usavam nós em cordas ou instrumentos como o ábaco. Só depois é que vieram os sistemas de números romanos e árabes para representar quantias escritas em símbolos e operações.

Ainda assim, esses sistemas se modificam aos poucos. Um exemplo é o acréscimo do algarismo 0 para representar a ausência de quantidade e as classes e ordens numéricas.

Hoje é fácil para nós, porque já recebemos tudo pronto e nos explicam desde pequenos. Mas imagina quão genial foi o cara que tentou organizar essas informações pela primeira vez?

Pois é, o pai da Aritmética é Brahmagupta (589-668), um matemático indiano que encaixou o 0 nos números e ajudou na lógica do sistema numérico que usamos. Séculos depois, foi Bhaskara (1114-1185) quem aperfeiçoou o estudo e chegou nos moldes de hoje.

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Quais são os assuntos da aritmética?

Por se tratar da base matemática, os principais assuntos que estudamos na aritmética são:

• Valor posicional;
• Números negativos;
• As 4 operações fundamentais e suas propriedades (Adição e Subtração / Multiplicação e Divisão);
• Conjuntos numéricos (números naturais, inteiros e racionais);
• Frações;
• Números decimais;
• Potência;
• Radiciação;
• Regra de três;
• Notação científica;
• Porcentagem.

O assunto aqui é outro, mas se você veio procurando por média aritmética ou progressão aritmética, nós também podemos te ajudar!

Como funciona a Aritmética?

A Aritmética funciona se baseando na relação entre os valores, suas representações e as operações que podemos realizar. Ela é a expressão matemática dos acontecimentos do dia a dia que envolvem quantidades.

Sem mais enrolação, vamos para a prática e os exemplos!

O que são os números?

Os algarismos são símbolos próprios para representar quantias. Tradicionalmente, começamos a contar do 0 (ausência) e vamos adicionando sempre 1 item.

0 = 

1 = °

2 = °°

3 = °°°

4 = °°°°

5 = °°°°°

Assim, temos 10 algarismos: 0,1,2,3,4,5,6,7,8 e 9.

Porém, se as quantidades são infinitas, fica quase impossível ter tanta criatividade para representar cada uma com um símbolo… 

Então criaram os números! Eles são a combinação dos algarismos para representar os demais valores. Assim como a combinação de diferentes letras formam palavras diferentes.

Além disso, podemos chamar de número antecessor aquele que vem antes da nossa referência (se 5 é a referência, seu antecessor é 4). Já o sucessor é aquele que vem depois da referência (se 5 é a referência, seu sucessor é 6).

E os números negativos?

Para entendê-los, vamos pensar assim: se eu te pedir para pegar 5 maçãs, você consegue. Mas se eu te pedir para colher -6 tomates, isso é possível? Não!

Só neste exemplo, já conseguimos notar que os números negativos são uma simbologia, não uma quantidade absoluta. 

Quando usamos uma régua, contamos os números de 0 para a direita. Porém, algum dia, alguém precisou contar de 0 para a esquerda e notou que não haviam símbolos para representar essa situação.

Ora, nada mais inteligente que espelhar a régua, já que as distâncias representadas são as mesmas! 

Porém, se os números usados fossem exatamente iguais, sem sabermos o contexto, não saberíamos se refere ao da direita ou da esquerda, ao de baixo ou o de cima… 

Portanto, bastou colocar um sinal de menos na frente, sinalizando que estamos contando do lado oposto!

… -5, -4, -3, -2, -1, ←  0 → 1, 2, 3, 4, 5, …

• Inclusive, esse raciocínio é muito discutido na física quando falamos em grandezas escalares e vetoriais!

O que é valor posicional?

Observe: tanto a quantidade de 20 bolas ou de 2.000 gotinhas são representadas pelos algarismos 2 e 0. Mas elas se referem a valores diferentes entre si e diferentes dos algarismos sozinhos. Como isso é possível?

Isso só é possível porque aprendemos a lidar com os diferentes valores que os algarismos assumem dependendo da posição em que se encontram.

Você se lembra do Q.P (quadro posicional)? Ele organiza e estuda as partes dos números, dividindo em classes e ordens.

Sendo assim, sabemos que o algarismo 2 no número 20 ocupa a ordem das dezenas na classe das unidades, e que no número 2.000 ocupa as unidades da classe de milhar. Por isso, a posição dos números nos indicam valores distintos.

Quais são as 4 operações fundamentais?

As 4 operações fundamentais são Adição, Subtração, Multiplicação e Divisão. Cada uma delas serve para representar o que acontece com as quantidades em cada situação da vida.

Veja só:

Adição ou Soma (+)

A adição é a operação que traz a ideia de juntar e reunir quantidades.

“Tenho quatro meias e ganhei mais duas de presente, ao todo, tenho 6 meias.” 

Se eu quiser representar esse acontecimento em uma linguagem matemática, irei escrever uma adição:

4 + 2 = 6

É importante notar que, na soma, nós podemos inverter a ordem das parcelas e o resultado será o mesmo: 2 + 4 = 6. 

Essa tática pode ser usada para acelerar o raciocínio. Por exemplo, pensar que já convidei 45 pessoas e virão 2 a mais faz nosso cérebro chegar ao resultado mais rápido do que pensar que tenho 2 convidados e chamarei mais 25. 

Porém, uma vez invertida, ela não representa exatamente o problema descrito. É importante diferenciar a história que está por trás da conta para usarmos o macete com responsabilidade!

Subtração (-)

A subtração é a operação que surge como o oposto da soma, portanto, traz a ideia de separar para retirar quantidades.

“Tinha 8 balas mas comi 3. Agora me restaram apenas 5.” 

Se eu quiser representar esse acontecimento em uma linguagem matemática, irei escrever uma subtração:

8 – 3 = 5

Porém, na subtração, nós NÃO podemos inverter a ordem dos números, pois os resultados serão diferentes.

Se o problema diz: “tenho 10 maçãs e comi 3, me restaram 7” e nós pensamos em inverter a ordem dos números, teríamos algo assim: “tenho 3 maçãs e comi 10, me restaram…”.

Viu como é perigoso? Então tome cuidado!

Retomando a ideia dos números negativos, se quisermos representar o resultado para 3 – 10, ele seria -7.

Sim, nós sabemos que na realidade não existem “-7 maçãs”, mas esse símbolo representa a situação final: se eu tinha 3 maçãs e comi 10, significa que eu comi as minhas 3 e ainda tive que pegar 7 de alguém. Então, é como se eu estivesse com uma “dívida” de 7 maçãs.

Multiplicação (x)

A multiplicação é uma operação especial, é como uma ferramenta que ajuda a fazer várias repetições de somas. Inclusive, ela pode ser representada por um ponto (.) ou o sinal de vezes (x).

“Supondo que o Pizzaiolo faz 5 pizzas por dia e queremos saber qual o total de pizzas que ele produz ao final de 20 dias. O que fazer?”

Uma pessoa que não conhece a multiplicação, vai ficar somando as 5 pizzas do 1° dia, mais as 5 do 2° dia mais as 5 do 3° dia, até o 20° dia!

Já imaginou o trabalhão e o tempo desperdiçado? É muito mais fácil representar e calcular por uma multiplicação. 

Isso porque o símbolo “vezes” já traz a ideia de repetição. Mas para sermos rápidos, é preciso ter decorado a tabuada! E isso só se faz com repetição, treino, escrita e memória!

5 x 20 = 100

Se ela é uma ferramenta de fazer várias somas repetidas, trocar a ordem dos números não afeta o resultado. Novamente, isso pode ser usado como macete. Se você está diante de 7×5 e não decorou a tabuada do 7, pode se lembrar da tabuada do 5 que é mais fácil!

Dizemos que cada número envolvido na multiplicação é um fator e o resultado é o seu produto. Além disso, o produto é dito como um múltiplo de seus fatores, como o 6 é um múltiplo de 1, 2 e 3.

Lembre-se: quanto temos um número com mais de uma ordem, precisamos multiplicar cada ordem por cada ordem, anotar os resultados e somar ao final. Assim:

Divisão (÷)

A divisão é, literalmente, o ato de dividir algo entre alguém. É como uma ferramenta que ajuda a fazer várias separações repetidas, mas sem descartar o que foi retirado. Inclusive, ela pode ser representada pelo símbolo tradicional (÷) ou pela barra (/).

“Clarice foi ao mercado e comprou 15 balas. Chegando em casa, dividiu as balas entre ela e seus pais. Ao final, cada um ficou com 5 balas”

Se Clarice é uma criancinha que ainda não sabe divisão, com certeza ela derramou as 15 balas no chão e foi separando 1 bala para o pai, 1 para a mãe e 1 para ela. Depois, repetiu o processo algumas vezes, até acabarem as balas do monte inicial.

Porém, se ela já estava fera na divisão, chegou em casa e já armou a continha:

15 / 3 = 5

Inclusive, ela sabia que essa conta daria 5 porque entendeu que a divisão é o oposto da multiplicação. Ao escrever “15 dividido por 3”, ela já pensou logo: qual é o número que, multiplicado por 3, resultará em 15? Para quem sabe a tabuada, essa é fácil!

Lembre-se que não podemos inverter a ordem dos números! 3 balas para 15 pessoas é algo bem difícil de se conseguir, e ainda daria farelinhos para cada um!

Um outro exemplo que nos ajuda a entender essa oposição de ideias é:

“Supondo que o sapateiro demora cinco dias para confeccionar um sapato, quantos sapatos ele terá feito ao final de 20 dias?”

No exemplo da multiplicação, nós tínhamos 5 pizzas feitas em um único dia. Porém, agora temos um único sapato que demora 5 dias para ser feito. Veja que estamos fazendo um raciocínio oposto.

Se não soubéssemos multiplicação, poderíamos desenhar uma tabela com 20 dias e ir tirando 5 em 5 para saber quantos sapatos foram feitos. Porém, já sabemos que a melhor forma é fazer a conta que representa essa situação:

20 / 5 = 4

Qual é a ordem de prioridade das operações?

Vamos supor que você já está lidando com expressões numéricas, como aqueles problemas e desafios de whatsapp:

3 x 5 + 8 / 2 – 8 = ?

Você sabe dizer o resultado correto? Tente aí, anote o resultado e acompanhe o raciocínio para ver se acertará!

A primeira coisa que precisamos levar em conta é que a multiplicação e a divisão

têm prioridade. Sempre devemos resolvê-las primeiro que a soma e a subtração.

Aí surge a dúvida: se eu tiver uma divisão e uma multiplicação, qual delas resolvo primeiro? 

E a resposta é: a que estiver mais à esquerda (por onde começamos a ler). Sendo assim, a resolução dessa expressão seria:

3 x 5 + 8 / 2 – 8 = ?

15 + 8 / 2 – 8 = ?

15 + 8 / 2 – 8 = ?

15 + 4 – 8 = ?

15 + 4 – 8 = ?

19 – 8 = ?

19 – 8 = ?

11 = ?

Acertou? Se sim, não pense que acabou por aqui…

Qual a ordem dos sinais gráficos?

As expressões ainda podem vir sinalizadas com parênteses ( ), colchetes [ ] e chaves { }.

Quando isso acontecer, devemos resolver primeiro o que está dentro do parênteses (independente de qual tipo de operação for), depois o que está no colchete, depois o que está nas chaves.

Só quando eliminarmos todos os sinais, é que podemos continuar normalmente como aprendemos acima.

Veja mais um exemplo:

3 x 5 + {3 x 5 – [1+ (8 / 2 – 2)]} = ?

E a resolução é:

3 x 5 + {3 x 5 – [1+ (8 / 2 – 2)]} = ?

3 x 5 + {3 x 5 – [1+ (4 – 2)]} = ?

3 x 5 + {3 x 5 – [1+ (4 – 2)]} = ?

3 x 5 + {3 x 5 – [1 + (2)]} = ?

3 x 5 + {3 x 5 – [1 + 2]} = ?

3 x 5 + {3 x 5 – [3]} = ?

3 x 5 + {3 x 5 – 3} = ?

3 x 5 + {15 – 3} = ?

3 x 5 + {15 – 3} = ?

3 x 5 + {12} = ?

3 x 5 + 12 = ?

15 + 12 = ?

15 + 12 = ?

27 = ?

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